NYMODERNISM

Blogg om vetenskap och kultur

Matematik och verklighet

[Uppföljning till Varför är axiom sanna?]

Angående en tidigare kommentarsdiskussion: Jo, jag hävdar bestämt att den vanligt förekommande åsikten "matematik har inte med verkligheten att göra" är helt uppenbart osann. Naturligtvis syftar jag på den sortens matematik vi väljer att använda oss av i vår mänskliga erfarenhetsvärld. Att jag sedan inte nyttjar fackuttrycket "mängdteorier" utan skriver om "olika slags matematik" borde inte ställa till problem. Utom möjligen för matematiker med akademiska krav.

Sant är förvisso att man kan konstruera olika sorters matematik, mer eller mindre främmande för vår vardagserfarenhet, beroende på vilka axiom man väljer att använda (urvalsaxiomet). Men poängen är att det finns en anledning till att vi använder en viss sorts matematik (närmare bestämt den som — väl? — definieras av Zermelo-Fraenkels mängdteori) när vi slipar linser, konstruerar byggnader eller beräknar färdvägen för en rymdsond.

Anledningen är givetvis att vi vet att den matematik vi förlitar oss på är applicerbar på vår verklighet. Och detta vet vi blott och bart genom — falsifikation.

* * *

Edit: Den uppmärksamma läsaren förstår nu att parallellaxiomet kan anses motsvara urvalsaxiomet i Euklides geometri. De fyra andra axiomen hos Euklides är beroende av varandra, men parallellaxiomet kan ersättas med valfritt annat efter behov, och därigenom skapa olika sorters icke-euklidisk geometri.

Edit 2: Den uppmärksamma läsaren förstår också att urvalsaxiomet bara är självklart sant i specifika situationer. Parallellaxiomet är en självklar sanning givet att ytan är plan, medan de övriga axiomen hos Euklides är giltiga i all slags geometri. Om ytan är en perfekt glob gäller ett annat (urvals)axiom, som är lika självklart sant i det sammanhanget. Vad som avgör vilket axiom som ska användas, är fortfarande uteslutningsprincipen — d.v.s. vad vi gott kan kalla falsifikation.

ANDRA BLOGGAR OM: VETENSKAPVETENSKAPSTEORIKUNSKAPSTEORIAXIOMKARL POPPER

/ Rickard Berghorn

Annonser

Single Post Navigation

9 thoughts on “Matematik och verklighet

  1. Att ingen matematik skulle vara tillämpbar är som du säger helt fel. Och att använda uttrycket “olika slags matematik” är betydligt bättre. Matematik är så mycket mer än ”mängdläror”. Verklighetsfrämmande ideer kan dock ofta vara ytterst användbara.. och ha konsekvenser för det tillämpade. All matematik är samman kopplad i ett nätverk, och existerar inte i isolation. Var/hur nya tillämpningar kan uppstå är inte förutsägbart. Och som det framgår tydligt i din text, det är inte matematiken som har nytta av falsifikation, utan bedömningen av dess applicerbarhet på verkligheten.

  2. Om man säger så här: Matematik är en form av språk, där tillämpbarheten avgör hur meningsfullt innehållet är. Matematik kan uttrycka allt från nonsens till mycket exakta sanningar om vår värld, beroende på hur väl axiomen är anpassade till verkligheten. Right? (Under förutsättning att de data som ”matas in” också motsvarar verkligheten, förstås.)

  3. Om man försöker axiomatisera (nåla ner) en teori, hitta lämpliga axiom. Så har jag ingen klar bild av vad du vill fånga med begreppet ”falsifikation” metodologisk. I fallet med olika geometrier, ja geometrierna är ju lika sanna efter falsifikationen som innan. Däremot så falsifierade man hypotesen om en viss geometri i tillämpningen. Att säga att en teori är falsk kan nog bara betyda att den är självmotsägande. Falsifikation skulle då vara att hitta en sådan motsägelse. Men matematik konstrueras inte för att vara falsiferbara på det sättet, det är inte ens alltid möjligt. Och det finns inget sätt att allmänt peka ut ett visst axiom som skyldigt. Resultatet kan rentutav bli att man lägger till fler axiom, vill begränsa uttryckbarheten.

  4. Ibland kan en matematisk formel ge det till synes enda svaret:
    http://enklabloggen.blogspot.com/search?q=formel

    Apropå det jag skriver om vågor: att vågors höjd/amplitud plussas ihop då de möts är väl ett axiom/postulat man fått lära sig

    Varför är axiom sanna?
    Tja, det får man väl reda på om man lyckas härleda dem. Eller menar du allmänt?

  5. Z: Jovisst är det ett axiom/postulat, men vi använder det när vi beräknar våghöjden på haven eftersom vi empiriskt vet (alltså genom falsifikation) att det är så. Annars kan man konstruera matematik som inte adderar ihop vågornas amplitud.

    Alltså som jag skriver här ovan: ”Matematik kan uttrycka allt från nonsens till mycket exakta sanningar om vår värld, beroende på hur väl axiomen är anpassade till verkligheten. … (Under förutsättning att de data som ‘matas in’ också motsvarar verkligheten, förstås.)”

    Hur vi väljer axiomen (eller vilka data vi anser vara lämpliga för våra syften) är inte en matematisk fråga, utan handlar om vilket urval vi gör. Vi har oändligt många potentiella axiom och data att välja bland, men utesluter – falsifierar – de flesta såsom varande icke användbara i sammanhanget.

    Jag kan tillägga eller förtydliga att sammanhanget inte måste ha med vår verklighet att göra, sammanhanget kan också vara en helt abstrakt matematisk spekulation. Axiomen måste ändå vara korrekta (”sanna”) i sammanhanget. Vad som avgör att rätt axiom placeras i sammanhanget är fortfarande det urval vi gör.

    Matematik är inte sig själv nog, ett eget fullkomligt universum som existerar oberoende av oss människor. Det är bara ett språk som vi människor anpassar efter våra syften.

  6. Apropå axiom och premisser:
    Vad tycker du om att man förutsätter att universum existerar ? Flummig fråga? Plattityd?

    Går det att bevisa att vi finns?

    Skriv gärna en bloggpost om denna premiss/axiom om du känner för det.
    Jag funderar själv.

    Nu när Fermats sats är bevisad (av en viss herr Wiles, tror jag), så är det inte längre ett axiom, per definition.
    Tror du att man kommer att kunna bevisa alla Euklides’ axiom?

  7. Faktum är att jag faktiskt tänkt på det 🙂 Jag kan vara tryggt förvissad om att jag existerar, och det kan alla vara. Bara man beaktar ”Cogito, ergo sum”. Så när något oundvikligen existerar, löser sig också frågan om universums existens/icke-existens automatiskt.

    Mycket dumt har skrivits om ”Cogito, ergo sum” de sista decennierna, men den som förstår vad Descartes menade inser också att något annat inte är möjligt: man själv existerar verkligen.

    Det du skriver om Fermats sats, Euklides axiom och matematiska bevis, vet jag inte riktigt hur jag ska svara på. Såvitt jag vet gäller ett matematiskt bevis bara inom matematiken själv, men matematik är som sagt inte sig själv nog. Skulle man då kunna bevisa alla axiom som absoluta sanningar och göra matematiken oberoende av matematikernas ”intuitiva” antaganden (axiom som självklara sanningar = står emot alla försök till falsifikation), så, tja… Det förutsätter kanske en Theory Of Everything?

    Edit och OBS! Har omformulerat sista stycket här ovan, tidigare vers. skrevs snabbt och slarvigt. Detta gäller.

  8. Ah, intressant. Måste nämna att jag uppskattar hur du diskuterar – du håller dig till (den egentligen helt nödvändiga) tumregeln att sätta sig in i och förstå vad den andre verkligen menar. Jag har annars praktiskt taget givit upp hoppet om förnuftiga, konstruktiva diskussioner på nätet. Alltför många är bara ute efter att synas, briljera och dominera – använder diskussioner som maktkamp istället för sanningssökande. Den pessimismen förklarar nog också varför jag ofta uttrycker mig så surmulet 🙂

    Men allvarligt talat. Jag ser det som ett stort. äkta socialt och mänskligt problem: hur svårt människan verkligen har att leva upp till de förnuftsideal som praktiskt taget alla ändå erkänner sig till.

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s